När lagkamraten Jordan Eberle avgjorde matchen 45 sekunder in i förlängningen på Rexall Place arena hade Nilsson räddat 42 av totalt 43 skott och utsågs till matchens första stjärna.
– En fantastisk match av Nilsson. Han gjorde många bra räddningar, sa Oliers tränare Todd McLellan.
Oilers gjorde 1–0 knappt 15 minuter in i första perioden.
Därefter kvitterade NHL-rookien Mattias Janmark för Dallas, hans femte mål under säsongen.
Men där slutade också målglädjen för Stars. Nilsson försvarade buren med briljans efter Janmarks kvittering, och stod emot 15 skott innan slutsignalen ljöd.