Bragg hade flyttats ner från mittfältet till innerback då han ersatte Max Nyqvist, som var avstängd.
Adam Johnson, ny från Rotherham, gjorde sitt femte mål.
Triumfen betyder att BBK fortsätter den framgångsrika sviten. Maj månad gav 13 poäng på fem matcher. BBK har inte förlorat sedan den 16:e april och har på allvar blandat sig i toppstriden.